XII. Filas de Espera
Introdução
Quando um determinado serviço é procurado por vários clientes, podem-se formar filas de espera, já que o número de servidores e a duração do serviço prestado, usualmente não permite que cada cliente seja atendido, assim que solicita o serviço (Hillier e Lieberman, 1995).
As filas de espera são um fenómeno bem conhecido dos clientes e fornecedores dos hipermercados. Por exemplo, ao nível das secções do talho, peixaria, charcutaria, padaria e apoio ao cliente (em que é usual a utilização de senhas para gerir a fila de espera), mas, principalmente, ao nível das caixas registadoras. Esta situação verifica-se, também, no abastecimento ou nos novos serviços de entrega ao domicílio.
A modelação de sistemas de filas de espera é de grande utilidade na tomada de decisões sobre o dimensionamento do serviço (número de servidores ou, no caso dos hipermercados, número de caixas registadoras abertas, número de operadores na peixaria ou cais de descarga a funcionar num determinado período do dia). A modelação destes sistemas tem o objectivo de melhorar o funcionamento, encontrando soluções equilibradas entre dois cenários possíveis: situações de congestionamento e de rarefacção. Uma dificuldade é valorizar o tempo de espera dos clientes, estabelecendo a compensação entre o custo do serviço prestado e o custo do tempo de espera dos clientes para a empresa.
Os modelos necessitam de informações para quantificar o desempenho do sistema. As medidas de desempenho de um sistema de filas de espera caracterizam o seu funcionamento, quer do ponto de vista do cliente, quer do ponto de vista do serviço. Para um sistema de filas de espera, no estado estacionário, as medidas de desempenho de maior interesse são:
L – número médio de clientes no sistema;
Lq – número médio de clientes na fila;
W – tempo médio que um cliente permanece no sistema;
Wq – tempo médio que um cliente espera na fila;
Pn – probabilidade de haver n clientes no sistema;
P [W > t] – probabilidade de um cliente permanecer mais do que t unidades de tempo no sistema;
P [Wq > t] – probabilidade de um cliente esperar mais do que t unidades de tempo na fila.
As quatro primeiras medidas, em muitos sistemas de filas de espera, no estado estacionário, relacionam-se entre si. O número médio de clientes no sistema (L) e na fila (Lq) são iguais ao produto da taxa de chegada (λ) pelos correspondentes tempos médios de espera W (no sistema) e Wq (na fila):
L = λ W
Lq = λ Wq
O tempo médio que um cliente permanece no sistema é igual ao tempo médio de espera na fila mais o tempo médio do serviço (1 / μ):
W = Wq + 1 / μ
Das três relações anteriores pode deduzir-se que o número médio de clientes no sistema é igual ao número médio de clientes na fila mais λ / μ:
L = Lq + λ / μ
Estas quatro relações, dados os valores de λ e μ, permitem determinar as quatro medidas de desempenho (L, W, Lq e Wq) a partir do valor de qualquer uma delas.
Por exemplo, se chegarem a uma caixa registadora de um hipermercado uma média de 10 clientes por hora, o tempo médio de serviço for de 3 minutos e cada cliente levar, em média, 10 minutos até acabar de ser atendido, então há, em média, um cliente na caixa, que espera 3 minutos para ser atendido e estão 0,5 clientes na fila, à espera de serem atendidos na caixa (Franco, 2006a).
Características de um Sistema M/M/1
O funcionamento de uma caixa registadora num hipermercado pode ser modelado, numa primeira abordagem, como um sistema M/M/1, um modelo teórico com uma fila de espera e um servidor. As outras secções, que funcionam dentro de um hipermercado, como lojas independentes, com um único empregado ao balcão, a atender os clientes, podem, também, ser modeladas, cada uma delas, como um sistema M/M/1.
A estrutura básica de um sistema M/M/1 é a seguinte (Figura 12.1):
Figura 12.1. Estrutura básica de um sistema M/M/1
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)
onde:
Fonte de Entrada – modela o processo de chegada dos clientes (M/M/1 = Poisson);
Fila – modela o lugar onde os clientes aguardam pelo serviço;
Disciplina da Fila – critério para escolher a ordem pela qual os clientes na fila são atendidos (M/M/1 = o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido, FIFO);
Mecanismo de Atendimento – ou Serviço, modela o sistema de atendimento dos clientes (M/M/1 = um servidor).
No estado estacionário, um sistema M/M/1 pode ser analisado utilizando as relações matemáticas que se seguem (Franco, 2006b).
Chegadas com distribuição de Poisson;
Taxa = λ clientes / u. tempo; População = 8; Fila máxima = 8.
Tempo de atendimento com distribuição Exponencial negativa;
Taxa = µ clientes / u. tempo (por servidor); Servidores = 1.
Condição de equilíbrio: λ / µ = ρ < 1
Taxa de ocupação = ρ; Taxa de desocupação = 1 - ρ
L = λ / (µ - λ) = ρ / (1 - ρ) = Lq + (λ / µ) = Lq + ρ
Lq = λ2 / µ (µ - λ) = ρ2 / (1 - ρ)
W = 1 / (µ - λ) = L / λ = Wq + (1 / µ)
Wq = λ / µ (µ - λ) = Lq / λ
P0 = 1 - λ (taxa de desocupação)
Pn = ρn P0, para n = 1, 2, 3, ...
P {n > k} = ρk + 1
P {W > t} = e-(µ - λ) t = e-µ (1 - ρ) t, t = 0
P {Wq > t} = ρ e-(µ - λ) t = ρ e-µ (1 - ρ) t, t = 0
P {Wq = 0} = P0
Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se a uma caixa registadora, para pagar as compras, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de um de dois em dois minutos. A empregada da caixa atende os clientes por ordem de chegada (FIFO). Dado o tempo gasto a fazer as compras, os clientes estão dispostos a esperar para serem atendidos, se for necessário. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, distribuído exponencialmente. Na caixa registadora, as taxas de chegada e atendimento não variam com o número de clientes na fila (estado do sistema) e existe apenas uma fila e um servidor.
1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/1, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / µ) = 1,5 minutos.
2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / μ = 0,5 × 1,5 = 0,75 < 1.
A empregada tem, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem à caixa para pagar as compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.
Resultados Decorrentes da Distribuição das Chegadas
Como o modelo M/M1 pressupõe que a distribuição de probabilidade do número de chegadas n em qualquer intervalo de tempo t é Poisson, tem-se:
P {n chegadas num intervalo de tempo t} = (λ t)n e -λ t / n! para n = 0, 1, 2, ...
com média e variância = λ t.
Então, com λ = 0,5 clientes / minuto = 30 clientes / h,
1) probabilidade de n clientes se dirigirem à caixa para pagar, num período de tempo t, P {X(t) = n} = (λ t)n e - λ t / n!
2) valor esperado ou médio, E {n | t} = λ t, e desvio padrão, σ {n | t} = (λ t)½, do número clientes n que se dirigem à caixa para pagarem num intervalo de tempo t,
Raramente a taxa de chagadas dos clientes se manterá constante durante um intervalo de tempo de várias horas.
Atendendo a que se a distribuição de probabilidade do número de chegadas n em qualquer intervalo de tempo t é Poisson, a distribuição de probabilidade do tempo T entre duas chegadas consecutivas é Exponencial negativa. Então, para t ≥ 0,
3) P {tempo entre chegadas, T, não exceder t} = P {T ≤ t} = 1 - e - λ t
P {tempo entre chegadas, T, ser maior do que t} = P {T > t} = e - λ t
com média E (T) = 1 / λ e variância Var (T) = 1 / λ2.
Assim, com λ = 0,5 clientes / minuto = 30 clientes / h:
E (T) = 2 min = (1/3) 10-1 h
Var (T) = 4 min2 = (1/9) 10-2 h2
σ (T) = 2 min = (1/3) 10-1 h
e
Portanto,
4) P {intervalo de tempo total para n chegadas consecutivas ≤ t} =
P {número de chegadas, em qualquer intervalo de tempo t, ≥ n} =
P {X(t) ≥ n } = 1 - P {X(t) ≤ n - 1}
então:
5) Estes resultados permitem, também, responder ao que acontece quando o serviço da caixa é interrompido por alguma razão: um artigo não tem o código de barras, esse código não está adequadamente codificado, falta de trocos, reabastecimento de consumíveis ou bloqueamento da máquina registadora, entre outras. A tabela acima mostra a probabilidade de chegarem n ou mais clientes durante uma interrupção do serviço de duração t.
De 2), sabe-se, também, a média, E {n | t} = λ t, e desvio padrão, σ {n | t} = (λ t)½, do número clientes n que se dirigem à caixa para pagarem, durante essa interrupção de tempo t,
Resultados Decorrentes da Distribuição do Serviço
Como o modelo M/M1 pressupõe que a distribuição de probabilidade do tempo de serviço t é Exponencial negativa, tem-se:
P {tempo de serviço, T, não exceder t} = P {T ≤ t} = 1 - e - μ t para t ≥ 0
P {tempo de serviço, T, ser maior do que t} = P {T > t} = e - μ t
com média E (T) = 1 / μ e variância Var (T) = 1 / μ2.
Então, com (1 / μ) = 1,5 minutos, tem-se: μ = 2/3 min = (1/9) 10-1 h,
1) E (T) = 1,5 min = 0,025 h
Var (T) = 2,25 min2 = 6,25 10-4 h2
σ (T) = 1,5 min = 0,025 h
e
(Franco, 2006c)
As filas de espera são um fenómeno bem conhecido dos clientes e fornecedores dos hipermercados. Por exemplo, ao nível das secções do talho, peixaria, charcutaria, padaria e apoio ao cliente (em que é usual a utilização de senhas para gerir a fila de espera), mas, principalmente, ao nível das caixas registadoras. Esta situação verifica-se, também, no abastecimento ou nos novos serviços de entrega ao domicílio.
A modelação de sistemas de filas de espera é de grande utilidade na tomada de decisões sobre o dimensionamento do serviço (número de servidores ou, no caso dos hipermercados, número de caixas registadoras abertas, número de operadores na peixaria ou cais de descarga a funcionar num determinado período do dia). A modelação destes sistemas tem o objectivo de melhorar o funcionamento, encontrando soluções equilibradas entre dois cenários possíveis: situações de congestionamento e de rarefacção. Uma dificuldade é valorizar o tempo de espera dos clientes, estabelecendo a compensação entre o custo do serviço prestado e o custo do tempo de espera dos clientes para a empresa.
Os modelos necessitam de informações para quantificar o desempenho do sistema. As medidas de desempenho de um sistema de filas de espera caracterizam o seu funcionamento, quer do ponto de vista do cliente, quer do ponto de vista do serviço. Para um sistema de filas de espera, no estado estacionário, as medidas de desempenho de maior interesse são:
L – número médio de clientes no sistema;
Lq – número médio de clientes na fila;
W – tempo médio que um cliente permanece no sistema;
Wq – tempo médio que um cliente espera na fila;
Pn – probabilidade de haver n clientes no sistema;
P [W > t] – probabilidade de um cliente permanecer mais do que t unidades de tempo no sistema;
P [Wq > t] – probabilidade de um cliente esperar mais do que t unidades de tempo na fila.
As quatro primeiras medidas, em muitos sistemas de filas de espera, no estado estacionário, relacionam-se entre si. O número médio de clientes no sistema (L) e na fila (Lq) são iguais ao produto da taxa de chegada (λ) pelos correspondentes tempos médios de espera W (no sistema) e Wq (na fila):
L = λ W
Lq = λ Wq
O tempo médio que um cliente permanece no sistema é igual ao tempo médio de espera na fila mais o tempo médio do serviço (1 / μ):
W = Wq + 1 / μ
Das três relações anteriores pode deduzir-se que o número médio de clientes no sistema é igual ao número médio de clientes na fila mais λ / μ:
L = Lq + λ / μ
Estas quatro relações, dados os valores de λ e μ, permitem determinar as quatro medidas de desempenho (L, W, Lq e Wq) a partir do valor de qualquer uma delas.
Por exemplo, se chegarem a uma caixa registadora de um hipermercado uma média de 10 clientes por hora, o tempo médio de serviço for de 3 minutos e cada cliente levar, em média, 10 minutos até acabar de ser atendido, então há, em média, um cliente na caixa, que espera 3 minutos para ser atendido e estão 0,5 clientes na fila, à espera de serem atendidos na caixa (Franco, 2006a).
Características de um Sistema M/M/1
O funcionamento de uma caixa registadora num hipermercado pode ser modelado, numa primeira abordagem, como um sistema M/M/1, um modelo teórico com uma fila de espera e um servidor. As outras secções, que funcionam dentro de um hipermercado, como lojas independentes, com um único empregado ao balcão, a atender os clientes, podem, também, ser modeladas, cada uma delas, como um sistema M/M/1.
A estrutura básica de um sistema M/M/1 é a seguinte (Figura 12.1):
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)
onde:
Fonte de Entrada – modela o processo de chegada dos clientes (M/M/1 = Poisson);
Fila – modela o lugar onde os clientes aguardam pelo serviço;
Disciplina da Fila – critério para escolher a ordem pela qual os clientes na fila são atendidos (M/M/1 = o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido, FIFO);
Mecanismo de Atendimento – ou Serviço, modela o sistema de atendimento dos clientes (M/M/1 = um servidor).
No estado estacionário, um sistema M/M/1 pode ser analisado utilizando as relações matemáticas que se seguem (Franco, 2006b).
Chegadas com distribuição de Poisson;
Taxa = λ clientes / u. tempo; População = 8; Fila máxima = 8.
Tempo de atendimento com distribuição Exponencial negativa;
Taxa = µ clientes / u. tempo (por servidor); Servidores = 1.
Condição de equilíbrio: λ / µ = ρ < 1
Taxa de ocupação = ρ; Taxa de desocupação = 1 - ρ
L = λ / (µ - λ) = ρ / (1 - ρ) = Lq + (λ / µ) = Lq + ρ
Lq = λ2 / µ (µ - λ) = ρ2 / (1 - ρ)
W = 1 / (µ - λ) = L / λ = Wq + (1 / µ)
Wq = λ / µ (µ - λ) = Lq / λ
P0 = 1 - λ (taxa de desocupação)
Pn = ρn P0, para n = 1, 2, 3, ...
P {n > k} = ρk + 1
P {W > t} = e-(µ - λ) t = e-µ (1 - ρ) t, t = 0
P {Wq > t} = ρ e-(µ - λ) t = ρ e-µ (1 - ρ) t, t = 0
P {Wq = 0} = P0
Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se a uma caixa registadora, para pagar as compras, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de um de dois em dois minutos. A empregada da caixa atende os clientes por ordem de chegada (FIFO). Dado o tempo gasto a fazer as compras, os clientes estão dispostos a esperar para serem atendidos, se for necessário. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, distribuído exponencialmente. Na caixa registadora, as taxas de chegada e atendimento não variam com o número de clientes na fila (estado do sistema) e existe apenas uma fila e um servidor.
1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/1, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / µ) = 1,5 minutos.
2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / μ = 0,5 × 1,5 = 0,75 < 1.
A empregada tem, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem à caixa para pagar as compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.
Como o modelo M/M1 pressupõe que a distribuição de probabilidade do número de chegadas n em qualquer intervalo de tempo t é Poisson, tem-se:
P {n chegadas num intervalo de tempo t} = (λ t)n e -λ t / n! para n = 0, 1, 2, ...
com média e variância = λ t.
Então, com λ = 0,5 clientes / minuto = 30 clientes / h,
1) probabilidade de n clientes se dirigirem à caixa para pagar, num período de tempo t, P {X(t) = n} = (λ t)n e - λ t / n!
| t (min) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | |
| n | |||||||
| 0 | P {X(t) = 0} = e - λ t | 0,61 | 0,37 | 0,22 | 0,14 | 0,08 | 0,01 |
| 1 | P {X(t) = 1} = λ t e - λ t | 0,30 | 0,37 | 0,33 | 0,27 | 0,21 | 0,03 |
2) valor esperado ou médio, E {n | t} = λ t, e desvio padrão, σ {n | t} = (λ t)½, do número clientes n que se dirigem à caixa para pagarem num intervalo de tempo t,
| t (min) | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
| E {n | t} = λ t | 2,5 | 5 | 7,5 | 10 | 15 |
| σ {n | t} = (λ t)½ | 1,58 | 2,24 | 2,74 | 3,16 | 3,87 |
| t (h) | 2 | 3 | 4 | 7 | 8 |
| E {n | t} = λ t | 60 | 90 | 120 | 210 | 240 |
| σ {n | t} = (λ t)½ | 7,75 | 9,49 | 10,95 | 14,49 | 15,49 |
Raramente a taxa de chagadas dos clientes se manterá constante durante um intervalo de tempo de várias horas.
Atendendo a que se a distribuição de probabilidade do número de chegadas n em qualquer intervalo de tempo t é Poisson, a distribuição de probabilidade do tempo T entre duas chegadas consecutivas é Exponencial negativa. Então, para t ≥ 0,
3) P {tempo entre chegadas, T, não exceder t} = P {T ≤ t} = 1 - e - λ t
P {tempo entre chegadas, T, ser maior do que t} = P {T > t} = e - λ t
com média E (T) = 1 / λ e variância Var (T) = 1 / λ2.
Assim, com λ = 0,5 clientes / minuto = 30 clientes / h:
E (T) = 2 min = (1/3) 10-1 h
Var (T) = 4 min2 = (1/9) 10-2 h2
σ (T) = 2 min = (1/3) 10-1 h
e
| t (min) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
| P {T ≤ t} = 1 - e - λ t | 0,39 | 0,63 | 0,78 | 0,86 | 0,92 | 0,99 |
| P {T > t} = e - λ t | 0,61 | 0,37 | 0,22 | 0,14 | 0,08 | 0.01 |
Portanto,
4) P {intervalo de tempo total para n chegadas consecutivas ≤ t} =
P {número de chegadas, em qualquer intervalo de tempo t, ≥ n} =
P {X(t) ≥ n } = 1 - P {X(t) ≤ n - 1}
então:
| t (min) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| n | |||||
| (chegadas | |||||
| consecutivas) | |||||
| 2 | 0,26 | 0,59 | 0,80 | 0,91 | 0,96 |
| 3 | 0,08 | 0,32 | 0,58 | 0,76 | 0,88 |
| 4 | 0,02 | 0,14 | 0,35 | 0,57 | 0,73 |
| 5 | 0,00 | 0,05 | 0,18 | 0,37 | 0,56 |
| 10 | 0,00 | 0,00 | 0,01 | 0,03 | |
5) Estes resultados permitem, também, responder ao que acontece quando o serviço da caixa é interrompido por alguma razão: um artigo não tem o código de barras, esse código não está adequadamente codificado, falta de trocos, reabastecimento de consumíveis ou bloqueamento da máquina registadora, entre outras. A tabela acima mostra a probabilidade de chegarem n ou mais clientes durante uma interrupção do serviço de duração t.
De 2), sabe-se, também, a média, E {n | t} = λ t, e desvio padrão, σ {n | t} = (λ t)½, do número clientes n que se dirigem à caixa para pagarem, durante essa interrupção de tempo t,
| t (min) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| E {n | t} = λ t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| σ {n | t} = (λ t)½ | 1,00 | 1,41 | 1,73 | 2,00 | 2,24 |
Como o modelo M/M1 pressupõe que a distribuição de probabilidade do tempo de serviço t é Exponencial negativa, tem-se:
P {tempo de serviço, T, não exceder t} = P {T ≤ t} = 1 - e - μ t para t ≥ 0
P {tempo de serviço, T, ser maior do que t} = P {T > t} = e - μ t
com média E (T) = 1 / μ e variância Var (T) = 1 / μ2.
Então, com (1 / μ) = 1,5 minutos, tem-se: μ = 2/3 min = (1/9) 10-1 h,
1) E (T) = 1,5 min = 0,025 h
Var (T) = 2,25 min2 = 6,25 10-4 h2
σ (T) = 1,5 min = 0,025 h
e
| t (min) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
| P {T ≤ t} = 1 - e - μ t | 0,49 | 0,74 | 0,86 | 0,93 | 0,96 | 1,00 |
| P {T > t} = e - μ t | 0,51 | 0,26 | 0,14 | 0,07 | 0,04 | 0,00 |
(Franco, 2006c)
1) Taxa de ocupação (ρ) =
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
Intensidade do tráfego =
Probabilidade de existir algum cliente no sistema (P {n > 0}) =
Probabilidade de ter que esperar na fila (Pw) =
Probabilidade do servidor estar ocupado (Pb) =
ρ = λ / μ = 0,75
2) Taxa de desocupação (P0) =
Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema =
Probabilidade de não ter que esperar na fila =
Probabilidade do servidor estar desocupado =
P0 = 1 - ρ = 0,25
3) Número médio de clientes no sistema (L) =
L = ρ / (1 - ρ) = 3 clientes
4) Número médio de clientes na fila (Lq) =
Tamanho médio da fila =
Lq = ρ2 / (1 - ρ) = 2,25 clientes
5) Tempo médio no sistema (W) = [ver 10)]
Tempo médio na fila, quando se tem de esperar =
Duração média do período de ocupação do servidor =
W = L / λ = 6 minutos
6) Tempo médio na fila (Wq) =
Tempo médio de espera na fila =
Wq = Lq / λ = 4,5 minutos
7) N.º médio de clientes na fila, quando o sistema está ocupado (Lb) =
Lb = Lq / Pw = L = 3 clientes
8) N.º médio de clientes na fila, quando há pelo menos um (Lq | q > 0) =
N.º médio de clientes servidos por período de ocupação do servidor =
Lq | q > 0 = μ W = 4 clientes
9) Número médio de clientes a serem servidos (LS) =
Número médio de servidores ocupados (Sb) =
LS = L - Lq = ρ = 0,75 clientes
Sb = ρ = Pb = 0,75 servidores
10) Tempo médio na fila, quando o sistema está ocupado (Wb) =
Tempo médio na fila, quando se tem de esperar =
Duração média do período de ocupação do servidor =
Wb = Wq / Pw = W = 6 minutos
11) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n clientes no sistema (Pn)
12) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema (P {N ≤ n})
13) Probabilidade de haver mais de n clientes no sistema (P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema = 1 - (P {N ≤ n}) =
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n + 1}) =
ρn + 1
14) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n}) =
ρn, para n = 0, 1, 2, …
| n | Pn | P {N ≤ n} | P {N ≥ n} | q | Pq | P {Q ≤ q} | P {Q ≥ q} |
| (11) | (12) | (14) | (16) | (17) | (18) | ||
| 0 | 0,25 | 0,25 | 1,00 | ||||
| 1 | 0,19 | 0,44 | 0,75 | 0 | 0,19 | 0,44 | 0,75 |
| 2 | 0,14 | 0,58 | 0,56 | 1 | 0,14 | 0,58 | 0,56 |
| 3 | 0,11 | 0,68 | 0,42 | 2 | 0,11 | 0,68 | 0,42 |
| 4 | 0,08 | 0,76 | 0,32 | 3 | 0,08 | 0,76 | 0,32 |
| 5 | 0,06 | 0,82 | 0,24 | 4 | 0,06 | 0,82 | 0,24 |
| 6 | 0,04 | 0,87 | 0,18 | 5 | 0,04 | 0,87 | 0,18 |
| 7 | 0,03 | 0,90 | 0,13 | 6 | 0,03 | 0,90 | 0,13 |
| 8 | 0,03 | 0,92 | 0,10 | 7 | 0,03 | 0,92 | 0,10 |
| 9 | 0,02 | 0,94 | 0,08 | 8 | 0,02 | 0,94 | 0,08 |
| 10 | 0,01 | 0,96 | 0,06 | 9 | 0,01 | 0,96 | 0,06 |
| 11 | 0,01 | 0,97 | 0,04 | 10 | 0,01 | 0,97 | 0,04 |
| 12 | 0,01 | 0,98 | 0,03 | 11 | 0,01 | 0,98 | 0,03 |
| 13 | 0,01 | 0,98 | 0,02 | 12 | 0,01 | 0,98 | 0,02 |
| 14 | 0,00 | 0,99 | 0,02 | 13 | 0,00 | 0,99 | 0,02 |
| 15 | 0,00 | 0,99 | 0,01 | 14 | 0,00 | 0,99 | 0,01 |
15) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e nenhum na fila =
P1 = 0,19
16) Probabilidade de haver um cliente a ser servido e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, q clientes na fila (P {Q = q}) =
P1, para q = 0
Pq + 1, para q = 1, 2, …
17) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) clientes na fila (P {Q ≤ q}) =
Confiar que há espaço para q clientes esperarem, uma percentagem (probabilidade × 100) do tempo =
P {N ≤ q + 1}
Se quisermos estar confiantes de que há espaço no hipermercado para os clientes de uma caixa, pelo menos 95% do tempo, devemos ser capazes de acolher 10 clientes, incluindo o que está a ser servido, ou seja, haver espaço para uma fila de 9 clientes com os carros das compras.
18) Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) clientes na fila (P {Q ≥ q}) =
P {N ≥ q + 1} = ρq + 1
Estes resultados, obtidos numa folha de cálculo, podem também ser determinados numa folha pré-programada (McClain, 2003). Na figura seguinte podem ver-se as medidas de desempenho do problema acima.
(carregar com o cursor na figura para ver em tamanho grande)
Uma outra abordagem, muito útil em filas de espera, é a simulação. Para um sistema M/M/1, Slater (2000) desenvolveu um aplete que calcula as medidas de desempenho e recolhe valores da simulação. Estes dois conjuntos de valores podem ser comparados e observada a convergência dos valores simulados. Os resultados obtidos no aplete, para o mesmo problema, podem ser vistos na figura seguinte O aplete só admite valores inteiros, por isso a unidade de tempo utilizada é a décima de minuto (Franco, 2006d).
Uma outra abordagem, muito útil em filas de espera, é a simulação. Para um sistema M/M/1, Slater (2000) desenvolveu um aplete que calcula as medidas de desempenho e recolhe valores da simulação. Estes dois conjuntos de valores podem ser comparados e observada a convergência dos valores simulados. Os resultados obtidos no aplete, para o mesmo problema, podem ser vistos na figura seguinte O aplete só admite valores inteiros, por isso a unidade de tempo utilizada é a décima de minuto (Franco, 2006d).
Como no modelo M/M/1, a distribuição de probabilidade do tempo no sistema W é Exponencial negativa com parâmetro μ - λ, tem-se:
P {tempo no sistema, W, não exceder t}= P {W ≤ t} = 1 - e - (μ - λ) t para t ≥ 0
P {tempo no sistema, W, ser maior do que t}= P {W > t} = e - (μ - λ) t
com média E (W) = 1 / (μ - λ) e variância Var (W) = 1 / (μ - λ)2.
Então, com μ = 2/3 e λ = 0,5 clientes / minuto,
E (W) = W = 6 min = 0,1 h
Var (W) = 36 min2 = 0,01 h2
σ (W) = 6 min = 0,1 h
e
| t (min) | 4 | 6 | 8 | 10 | 20 | 30 |
| P {W ≤ t} = 1 - e - t / 6 | 0,49 | 0,63 | 0,74 | 0,81 | 0,96 | 0,99 |
| P {W > t} = e - t / 6 | 0,51 | 0,37 | 0,26 | 0,19 | 0,04 | 0,01 |
Atendendo a que:
P {Wq > t} = ρ e - (μ - λ) t = ρ e - μ (1 - ρ) t, t ≥ 0
tem-se:
| t (min) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
| P {Wq > t} = 0,75 e - t / 6 | 0,39 | 0,28 | 0,20 | 0,14 | 0,03 | 0,01 |
(Franco, 2006e)
Um armazém de um hipermercado recebe camiões com encomendas que são descarregados usando empilhadoras. Um levantamento de dados realizado no local permitiu concluir que os camiões chegam seguindo uma distribuição de Poisson, a uma taxa de 16 camiões / dia; os tempos de descarga seguem uma distribuição Exponencial Negativa, com médias que dependem do número de empilhadoras utilizadas:
A operação das empilhadoras tem um custo de 15 UM / hora e a imobilização dos camiões acarreta um encargo de 30 UM / hora.
1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/1, com λ = 2 camiões / hora.
A taxa de serviço ou taxa de descarga (µ) vai depender da decisão tomada sobre o número de empilhadoras.
2) Verificação da condição de equilíbrio: λ / µ < 1 ⇒ µ > 2 ⇒ Número de empilhadoras ≥ 2
Com uma empilhadora, a taxa de descarga é inferior à taxa de chegada, o que leva ao crescimento ilimitado da fila, nunca se atingindo o estado de equilíbrio.
Com duas ou mais empilhadoras, a condição de equilíbrio (ρ < 1) é satisfeita, permitindo determinar todas as medidas de desempenho para o modelo M / M / 1.
Operando com várias empilhadoras, a fila permanece sempre única, com apenas 1 servidor, devido ao facto das várias empilhadoras descarregam simultaneamente o mesmo camião, traduzindo-se num aumento da velocidade de descarga (aumento de velocidade do servidor ou taxa de serviço, µ).
Nas tabelas seguintes são indicados, para cada número de empilhadoras, o tempo médio de descarga dado (1 / µ), a taxa de serviço (µ), a taxa de ocupação (ρ = λ / μ), o tempo que, em média, os camiões permanecem no sistema (W) e o número médio de camiões no sistema (L = λ × W).
| N.º de empilhadoras | Tempo de descarga |
| (1 / µ) | |
| --- minutos --- | |
| 1 | 50 |
| 2 | 20 |
| 3 | 15 |
| 4 | 12 |
| 5 | 10 |
A operação das empilhadoras tem um custo de 15 UM / hora e a imobilização dos camiões acarreta um encargo de 30 UM / hora.
1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/1, com λ = 2 camiões / hora.
A taxa de serviço ou taxa de descarga (µ) vai depender da decisão tomada sobre o número de empilhadoras.
2) Verificação da condição de equilíbrio: λ / µ < 1 ⇒ µ > 2 ⇒ Número de empilhadoras ≥ 2
Com uma empilhadora, a taxa de descarga é inferior à taxa de chegada, o que leva ao crescimento ilimitado da fila, nunca se atingindo o estado de equilíbrio.
Com duas ou mais empilhadoras, a condição de equilíbrio (ρ < 1) é satisfeita, permitindo determinar todas as medidas de desempenho para o modelo M / M / 1.
Operando com várias empilhadoras, a fila permanece sempre única, com apenas 1 servidor, devido ao facto das várias empilhadoras descarregam simultaneamente o mesmo camião, traduzindo-se num aumento da velocidade de descarga (aumento de velocidade do servidor ou taxa de serviço, µ).
Nas tabelas seguintes são indicados, para cada número de empilhadoras, o tempo médio de descarga dado (1 / µ), a taxa de serviço (µ), a taxa de ocupação (ρ = λ / μ), o tempo que, em média, os camiões permanecem no sistema (W) e o número médio de camiões no sistema (L = λ × W).
| N.º de empilhadoras | Tempo médio de descarga | Taxa de serviço | Taxa de ocupação |
| (n) | (1 / µ) | (µ) | (λ / µ) |
| - minutos - | - camiões por hora - | ||
| 1 | 50 | 1,20 | 1,67 |
| 2 | 20 | 3,00 | 0,67 |
| 3 | 15 | 4,00 | 0,50 |
| 4 | 12 | 5,00 | 0,40 |
| 5 | 10 | 6,00 | 0,33 |
| N.º de empilhadoras | Tempo médio no sistema por camião | Número médio de camiões no sistema |
| (n) | (W) | (L = λ × W) |
| - horas - | - camiões - | |
| 2 | 1,00 | 2,00 |
| 3 | 0,50 | 1,00 |
| 4 | 0,33 | 0,67 |
| 5 | 0,25 | 0,50 |
Para minimizar os custos do sistema, há que determinar o custo de imobilização dos camiões e o custo do serviço, directamente proporcional ao número de empilhadoras utilizadas na descarga.
Na tabela seguinte apresenta-se o custo total em função do número de empilhadoras, permitindo concluir que o custo mínimo, de 75 UM / hora, corresponde a três empilhadoras.
Na tabela seguinte apresenta-se o custo total em função do número de empilhadoras, permitindo concluir que o custo mínimo, de 75 UM / hora, corresponde a três empilhadoras.
| N.º de empilhadoras | Custo de imobilização dos camiões | Custo das empilhadoras | Custo total |
| (n) | (30 λ w) | (15 n) | |
| ------------------ UM / hora ----------------- | |||
| 1 | - | - | - |
| 2 | 60 | 30 | 90 |
| 3 | 30 | 45 | 75 |
| 4 | 20 | 60 | 80 |
| 5 | 15 | 75 | 90 |
(Franco, 2006n)
© 2004 by Virgílio A. P. Machado
0 Comments:
Post a Comment
<< Home