XII. Filas de Espera (Continuação)
Filas de Espera (M/M/S): Características
Dentro de um hipermercado, as filas de espera na zona do talho, charcutaria, peixaria, padaria, refeições rápidas e atendimento ao cliente, entre outras, funcionam com senhas cujo número é chamado sequencialmente. O modelo M/M/S pode ser utilizado, numa primeira aproximação, para estudar os sistemas de filas de espera deste serviços. Este modelo podetambém ser utilizado para estudar os sistemas de filas de espera dos camiões de carga e descarga, nos cais dos centros de distribuição ou dos hipermercados.
A estrutura básica de um sistema M/M/S é a seguinte (com S = 3):
A estrutura básica de um sistema M/M/S é a seguinte (com S = 3):
onde:
Fonte de Entrada – modela o processo de chegada dos clientes (M/M/S = Poisson);
Fila – modela o lugar onde os clientes aguardam pelo serviço;
Disciplina da Fila – critério para escolher a ordem pela qual os clientes na fila são atendidos (M/M/S = o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido, FIFO);
Mecanismo de Atendimento – ou Serviço, modela o sistema de atendimento dos clientes (M/M/S = S servidores).
No estado estacionário, um sistema M/M/S pode ser analisado utilizando as relações matemáticas que se seguem.
Chegadas com distribuição de Poisson;
Taxa = λ clientes / u. tempo; População = ∞; Fila máxima = ∞.
Tempo de atendimento com distribuição Exponencial negativa;
Taxa = μ clientes / u. tempo, (por servidor); Servidores = S
Condição de equilíbrio: λ / S µ = ρ = < 1
Taxa de ocupação = ρ; Taxa de desocupação = 1 – ρ
L = Lq + (λ / μ)
Lq = P0 (λ / μ)s ρ / S! (1 - ρ)2
W = L / λ = Wq + (1 / μ)
Wq = Lq / λ
P0 = 1 / {∑S - 1 [(λ / μ)n / n!] + [(λ / μ)S / S!] × 1 / (1 - ρ)}
Pn = P0 (λ / μ)n / n!, se 0 ≤ n ≤ S
Pn = P0 (λ / μ)n / S! Sn - S, se n ≥ S
P {W > t} = e-µ t {1 + [P0 (λ / μ)S / S! ( 1 - ρ)] [(1 - e-µ t (S - 1 - λ / μ)) / (S - 1 - λ / μ)]}, t ≥ 0
P {Wq > t} = [1 - P {Wq = 0}] eS μ (1 - ρ) t, t ≥ 0
P {Wq = 0} = ∑S - 1 Pn
(Franco, 2006f)
Num hipermercado, a certas horas do dia, os clientes dirigem-se ao balcão de atendimento da zona do talho / charcutaria, para tirar a senha de atendimento, com uma distribuição de Poisson, a uma taxa média de chegadas de 0,5 por minuto, para serem atendidos por duas empregadas. As empregadas atendem os clientes por ordem numérica das senhas. O tempo de atendimento de cada cliente é, em média, 1,5 minutos, distribuído exponencialmente.
1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/2, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / µ) = 1,5 minutos
2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 0,5 × 1,5 / 2 = 0,375 < 1.
As empregadas têm, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem ao talho/charcutaria para fazer compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.
1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/2, com taxa de chegadas λ = 0,5 clientes / minuto e tempo médio de serviço (1 / µ) = 1,5 minutos
2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 0,5 × 1,5 / 2 = 0,375 < 1.
As empregadas têm, portanto, capacidade para atender os clientes que se dirigem ao talho/charcutaria para fazer compras. O sistema poderá atingir o estado estacionário, se as condições dadas se mantiverem por tempo suficiente. A fila de espera não cresce indefinidamente, mas varia de tamanho ao longo do tempo.
1) Intensidade do tráfego (λ / µ) =
= λ / µ = 0,5 × 1,5 = 0,75
2) Taxa de ocupação (ρ)=
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
ρ = λ / S µ = 0,5 × 1,5 / 2 = 0,375
3) Taxa de desocupação (1 - ρ) =
= 1 - ρ = 0,625
4) Número médio de clientes no sistema (L) =
L = P0 [(λ / µ)S ρ] / [S! (1 - ρ)2] + (λ / µ) = 0,87 clientes
5) Número médio de clientes à espera (Lq) =
Lq = L - (λ / µ) = P0 [(λ / µ)S ρ] / [S! (1 - ρ)2] = 0,12 clientes
6) Tempo médio no sistema (W) =
W = L / λ = 1,75 minutos
7) Tempo médio à espera (Wq) =
Wq = Lq / λ = 0,25 minutos
8) Número médio de clientes a serem servidos (LS) =
Número médio de servidores ocupados (Sb) =
LS = L - Lq = 0,75 clientes
Sb = λ / µ = 0,75 servidores
9) Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema (P0) =
P0 = 0,45
10) Probabilidade de existir algum cliente no sistema (P {n > 0}) =
= 1 - P0 = 0,55
11) Probabilidade de ter que esperar (Pw) =
Probabilidade do sistema estar ocupado (Pb) =
Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados =
Pw = Pb = P0 [(λ / µ)S µ S] / [S! (µ S - λ)] = 0,2045
12) Probabilidade de não ter que esperar (1 - Pw) =
Probabilidade de um servidor estar desocupado (1 - Pb) =
1 - Pw = 1 - Pb = 1 - 0,2045 = 0,7955
13) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ S) estarem ocupados =
Probabilidade de haver n clientes (0 ≤ n ≤ S) no sistema =
Pn = P0 (λ / μ)n / n!, se 0 ≤ n ≤ S
| n | 0 | 1 | 2 |
| Pn | 0,4545 | 0,3409 | 0,1278 |
14) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ S) estarem desocupados =
Probabilidade de haver (S - n) clientes (0 ≤ n ≤ S) no sistema =
P(S - n) = P0 (λ / μ)(S - n) / (S - n)!, se 0 ≤ n ≤ S
| n | 2 | 1 | 0 |
| S - n | 0 | 1 | 2 |
| Pn | 0,4545 | 0,3409 | 0,1278 |
15) Número médio de clientes à espera, quando o sistema está ocupado (Lb) =
Lb = Lq / Pw = 0,6 clientes
16) Número médio de clientes à espera, quando há pelo menos um (Lq | q > 0) =
Lq | q > 0 = Lb + 1 = 1,6 clientes
17) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (Wb) =
Tempo médio à espera, quando se tem de esperar =
Wb = Wq / Pw = 1,2 minutos
18) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n clientes no sistema (Pn)
19) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema (P {N ≤ n})
20) Probabilidade de haver mais de n clientes no sistema ((P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) clientes no sistema =
1 - (P {N ≤ n}) =
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n + 1})
21) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) clientes no sistema (P {N ≥ n})
| n | Pn | P {N ≤ n} | P {N ≥ n} | q | Pq | P {Q ≤ q} | P {Q ≥ q} |
| (18) | (19) | (21) | (23) | (24) | (25) | ||
| 0 | 0,45 | 0,45 | 1,00 | ||||
| 1 | 0,34 | 0,80 | 0,55 | ||||
| 2 | 0,13 | 0,92 | 0,20 | 0 | 0,13 | 0,92 | 0,20 |
| 3 | 0,05 | 0,97 | 0,08 | 1 | 0,05 | 0,97 | 0,08 |
| 4 | 0,02 | 0,99 | 0,03 | 2 | 0,02 | 0,99 | 0,03 |
| 5 | 0,01 | 1,00 | 0,01 | 3 | 0,01 | 1,00 | 0,01 |
| 6 | 0,00 | 1,00 | 0,00 | 4 | 0,00 | 1,00 | 0,00 |
22) Probabilidade de haver n clientes a serem servidos =
Pn, para 0 ≤ n < S
PS = 1 - ∑(S - 1)Pn, para n = S
| n | 0 | 1 | 2 |
| Pn | 0,45 | 0,34 | 0,20 |
23) Probabilidade de haver S clientes a serem servidos e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, q clientes na fila (P {Q = q}) =
PS, para q = 0
Pq + 1, para q = 1, 2, …
24) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) clientes na fila (P {Q ≤ q})
25)Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) clientes na fila (P {Q ≤ q})
Na figura seguinte podem ver-se algumas das medidas de desempenho do problema acima, determinadas numa folha de cálculo pré-programada (McClain, 2003 e Franco, 2006h).
Ao cais de um hipermercado com três docas, chegam camiões com uma distribuição de Poisson a uma taxa de 20 veículos por dia de oito horas. O tempo de carga ou descarga do camião segue uma distribuição exponencial com média de 40 minutos.
1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/3, com taxa de chegadas, λ = 20 veiculos / dia = 2,5 veiculos / hora e taxa de serviço (µ)= 60 / 40 = 1,5 veiculos / hora.
2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9 < 1.
As três docas têm, portanto, capacidade para os camiões que se dirigem ao armazém do hipermercado.
1) Trata-se, portanto, de um sistema M/M/3, com taxa de chegadas, λ = 20 veiculos / dia = 2,5 veiculos / hora e taxa de serviço (µ)= 60 / 40 = 1,5 veiculos / hora.
2) Verificação da condição de equilíbrio: ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9 < 1.
As três docas têm, portanto, capacidade para os camiões que se dirigem ao armazém do hipermercado.
Medidas de Desempenho
1) Intensidade do tráfego (λ / µ) =
= λ / µ = 2,5 / 1,5 = 5 /3
2) Taxa de ocupação (ρ)=
Taxa média de ocupação do sistema =
Taxa média de ocupação do servidor =
Factor de ocupação do sistema =
ρ = λ / S µ = 2,5 / (3 × 1,5) = 5 / 9
3) Taxa de desocupação (1 - ρ) =
= 1 - ρ = 4 / 9
4) Número médio de camiões no sistema (L) =
L = 2 camiões
5) Número médio de camiões à espera (Lq) =
Lq = 0,4 camiões
6) Tempo médio no sistema (W) =
W = 0,8 horas = 49 minutos
7) Tempo médio à espera (Wq) =
Wq = 0,15 horas = 9 minutos
8) Número médio de camiões a serem servidos (L3) =
Número médio de cais ocupados (Lb) =
L3 = 5 / 3 camiões
Lb = 5 / 3 cais
9) Probabilidade de não existir nenhum camião no sistema (P0) =
P0 = 17 %
10) Probabilidade de existir algum camião no sistema (P {n > 0}) =
= 1 - P0 = 83 %
11) Probabilidade de ter que esperar (Pw) =
Probabilidade do sistema estar ocupado (Pb) =
Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados =
Pw = Pb = 30 %
12) Probabilidade de não ter que esperar (1 - Pw) =
Probabilidade de um servidor estar desocupado (1 - Pb) =
1 - Pw = 1 - Pb = 70 %
13) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ 3) estarem ocupados =
Probabilidade de haver n camiões (0 ≤ n ≤ 3) no sistema =
| n | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Pn | 0,1727 | 0,2878 | 0,2398 | 0,1332 |
14) Probabilidade de n servidores (0 ≤ n ≤ 3) estarem desocupados =
Probabilidade de haver (3 - n) camiões (0 ≤ n ≤ 3) no sistema =
| n | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 3 - n | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Pn | 0,1727 | 0,2878 | 0,2398 | 0,1332 |
15) Número médio de camiões à espera, quando o sistema está ocupado (Lb) =
Lb = 1,25 camiões
16) Número médio de camiões à espera, quando há pelo menos um (Lq | q > 0) =
Lq | q > 0 = 2,25 camiões
17) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (Wb) =
Tempo médio à espera, quando se tem de esperar =
Wb = 0,5 horas
18) Probabilidade de haver 0, 1, 2, …, n camiões no sistema (Pn)
19) Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema (P {N ≤ n})
20) Probabilidade de haver mais de n camiões no sistema ((P {N > n}) =
1 - Probabilidade de não haver mais de n (n ou menos) camiões no sistema =
1 - (P {N ≤ n}) =
Probabilidade de haver pelo menos n + 1 (n + 1 ou mais) camiões no sistema (P {N ≥ n + 1})
21) Probabilidade de haver pelo menos n (n ou mais) camiões no sistema (P {N ≥ n})
| n | Pn | P {N ≤ n} | P {N ≥ n} | q | Pq | P {Q ≤ q} | P {Q ≥ q} |
| (18) | (19) | (21) | (23) | (24) | (25) | ||
| 0 | 0,17 | 0,17 | 1,00 | ||||
| 1 | 0,29 | 0,46 | 0,83 | ||||
| 2 | 0,24 | 0,70 | 0,54 | ||||
| 3 | 0,13 | 0,83 | 0,30 | 0 | 0,13 | 0,83 | 0,30 |
| 4 | 0,07 | 0,91 | 0,17 | 1 | 0,07 | 0,91 | 0,17 |
| 5 | 0,04 | 0,95 | 0,09 | 2 | 0,04 | 0,95 | 0,09 |
| 6 | 0,02 | 0,97 | 0,05 | 3 | 0,02 | 0,97 | 0,05 |
| 7 | 0,01 | 0,98 | 0,03 | 4 | 0,01 | 0,98 | 0,03 |
| 8 | 0,01 | 0,99 | 0,02 | 5 | 0,01 | 0,99 | 0,02 |
| 9 | 0,00 | 1,00 | 0,01 | 6 | 0,00 | 1,00 | 0,01 |
| 10 | 0,00 | 1,00 | 0,00 | 7 | 0,00 | 1,00 | 0,00 |
22) Probabilidade de haver n camiões a serem servidos =
Pn, para 0 ≤ n < S
PS = 1 - ∑(S - 1)Pn, para n = S
| n | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Pn | 0,17 | 0,29 | 0,24 | 0,30 |
23) Probabilidade de haver 3 camiões a serem servidos e q na fila =
Probabilidade de haver 0, 1, 2, 3,…, q camiões na fila (P {Q = q}) =
P3, para q = 0
Pq + 1, para q = 1, 2, 3,…
24) Probabilidade de não haver mais de q (q ou menos) camiões na fila (P {Q ≤ q})
25)Probabilidade de haver pelo menos q (q ou mais) camiões na fila (P {Q ≤ q})
Na figura seguinte podem ver-se algumas das medidas de desempenho do problema acima, determinadas numa folha de cálculo pré-programada (McClain, 2003 e Franco, 2006m).
Medidas de desempenho
1) Número médio de clientes no sistema (L)
2) Número médio de clientes à espera (Lq)
Para valores da intensidade do tráfego (λ / µ) menores que um, o número médio de clientes na fila é quase o mesmo para qualquer número de servidores maior ou igual a dois. Portanto, se (λ / µ) < 1, só são necessários um ou dois servidores.
Em geral, o número médio de clientes na fila é pequeno, quando o número de servidores é igual ou maior que (λ / µ) + (λ / µ)1/2.
Em geral, o número médio de clientes na fila é pequeno, quando o número de servidores é igual ou maior que (λ / µ) + (λ / µ)1/2.
3) Tempo médio no sistema (W)
4) Tempo médio à espera (Wq)
5) Probabilidade de não existir nenhum cliente no sistema (P0)
6) Probabilidade de ter que esperar (Pw)
7) Número médio de clientes à espera, quando o sistema está ocupado (Lb)
8) Tempo médio à espera, quando o sistema está ocupado (Wb)
(Chang e Desai, 2002 e Franco, 2006i)
No caso do talho/charcutaria do hipermercado, considere-se as seguintes alternativas:
A. Uma senha (fila única) e duas empregadas, ou seja, um sistema com dois servidores.
B. Duas senhas (duas filas) e uma empregada para cada senha, isto é, dois sistemas de um servidor. Neste caso supôe-se que os clientes se dividem igualmente pelos dois sistemas, portanto λB = λA / 2.
Com um sistema de dois servidores (alternativa A) verifica-se uma redução substancial nas quatro medidas de desempenho, em relação a dois sistemas, cada um com a sua fila.
Sempre que possível, é preferível ter um sistema com múltiplos servidores e uma fila única, do que ter o mesmo número de servidores, cada um a atender uma fila.
As duas alternativas têm os mesmos custos (não contando o custo e manutenção de uma máquina de senhas), mas grandes diferenças na previsível satisfação dos clientes. Os clientes, em geral, dão mais importância, pela negativa, ao tempo que permanecem na fila à espera (Franco, 2006l).
A. Uma senha (fila única) e duas empregadas, ou seja, um sistema com dois servidores.
B. Duas senhas (duas filas) e uma empregada para cada senha, isto é, dois sistemas de um servidor. Neste caso supôe-se que os clientes se dividem igualmente pelos dois sistemas, portanto λB = λA / 2.
| A | B | |
| Medidas de | M/M/2 | 2 × M/M/1 |
| desempenho | λA = 0,5 cl. / min. | λB = 0,25 cl. / min. |
| L (clientes) | 0,87 | 1,2 (= 2 × 0,6) |
| Lq (clientes) | 0,12 | 0,45 (= 2 × 0,225) |
| W (minutos) | 1,75 | 2,4 |
| Wq (minutos) | 0,25 | 0,9 |
Com um sistema de dois servidores (alternativa A) verifica-se uma redução substancial nas quatro medidas de desempenho, em relação a dois sistemas, cada um com a sua fila.
Sempre que possível, é preferível ter um sistema com múltiplos servidores e uma fila única, do que ter o mesmo número de servidores, cada um a atender uma fila.
As duas alternativas têm os mesmos custos (não contando o custo e manutenção de uma máquina de senhas), mas grandes diferenças na previsível satisfação dos clientes. Os clientes, em geral, dão mais importância, pela negativa, ao tempo que permanecem na fila à espera (Franco, 2006l).
© 2004 by Virgílio A. P. Machado
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